公共の手続きと保険の手続きについてお願いします...

公共の手続きと保険の手続きについてお願いします。
現在、親名義の車(軽自動車)を使っていて別居の独身です。
別居はしてますが住民票はまだ変更してません。
(家を出て１ヶ月ちょっと。)住民票を移し、車の名義を自分にし、自動車保険も自分名義にしたいんですが、車の名義変更に必要な住民票を役所へ取りに行くついでに住居の転出届って申請できるんでしょうか？
転出、転入の手続きを終わらせてから車の名義変更をし、保険の名義変更をした方がいいですか？
実家が遠いので最小限の行き来ですませたいのですがどうするのが一番楽にできそうでしょうか？
また、保険は親の保険を引き継ぎつつ自分の名義で加入すると教えて頂いたんですが、その手続きは親が保険屋に連絡をするんでしょうか？
役所に聞けばいいと思うのですが、なるたけ早く変更したいと思ってまして…長文ですいませんがよろしくお願いします。

車の保険を変更するための手段ですよね。車の名義変更と保険を親から自分にするだけならとりあえずは現在の住民票（実家）で変更できます。
（住所変更はいずれ結婚でもした時、変更するというのはどうでしょうか）現在の親と同じ住所であれば、車の名義変更の際の車庫証明も不必要です。
住所変更して新住所に名義変更すれば新住所での車庫証明が必要です（軽は不要な地域もあるが）役所で住所変更の手続きは１、旧住所の役所に行き転出届けをします。
（転出証明書が発行される）２、その転出証明を新住所の役所に提出。（旧住所発行の転出証明が無いと受け付けてもらえない）３、その時、新住所で住民票を発行してもらう＞車の名義変更に必要な住民票を役所へ取りに行くついでに住居の転出届って申請できるんでしょうか？
転出届けをするとその住所の住民ではなくなるので住民票はもらえません。
新住所に転入届けをして、新住所で住民票をもらいます。
＞転出、転入の手続きを終わらせてから車の名義変更をし、保険の名義変更をした方がいいですか？
その通りです。
＞実家が遠いので最小限の行き来ですませたいのですがどうするのが一番楽にできそうでしょうか？
転出届けで最低1回、（親に代理でやってもらう、又は郵送も可能）＞保険は親の保険を引き継ぎつつ自分の名義で加入すると教えて頂いたんですが、その手続きは親が保険屋に連絡をするんでしょうか？
その通りです。
連絡すると保険屋から書類が送られて来ます。

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